Cálculo Exemplos

$6 x + y^{2} = 7$ $x = y$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $6 x + y^{2} = 7$ por $y$ .

$6 (y) + y^{2} = 7$

$x = y$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Multiplique $6$ por $y$ .

$6 y + y^{2} = 7$

$x = y$

$6 y + y^{2} = 7$

$x = y$

$6 y + y^{2} = 7$

$x = y$

Etapa 1.2

Resolva $y$ em $6 y + y^{2} = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$6 y + y^{2} - 7 = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Deixe $u = y$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y$ .

$6 u + u^{2} - 7 = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $6 u + u^{2} - 7$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $6$ .

$- 1, 7$

$x = y$

Etapa 1.2.2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 1) (u + 7) = 0$

$x = y$

$(u - 1) (u + 7) = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$(y - 1) (y + 7) = 0$

$x = y$

$(y - 1) (y + 7) = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

$y + 7 = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.4

Defina $y - 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $y - 1$ como igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 1$

$x = y$

$y = 1$

$x = y$

Etapa 1.2.5

Defina $y + 7$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $y + 7$ como igual a $0$ .

$y + 7 = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$y = - 7$

$x = y$

$y = - 7$

$x = y$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(y - 1) (y + 7) = 0$ verdadeiro.

$y = 1, - 7$

$x = y$

$y = 1, - 7$

$x = y$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y$ por $1$ .

$x = 1$

$y = 1$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$x = 1$

$y = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$x = 1$

$y = 1$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $- 7$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y$ por $- 7$ .

$x = - 7$

$y = - 7$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$x = - 7$

$y = - 7$

$x = - 7$

$y = - 7$

$x = - 7$

$y = - 7$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 1)$

$(- 7, - 7)$

$(1, 1)$

$(- 7, - 7)$

Etapa 2

Resolva $6 x + y^{2} = 7$ em termos de $x$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$6 x = 7 - y^{2}$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $6 x = 7 - y^{2}$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $6 x = 7 - y^{2}$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{7}{6} + \frac{- y^{2}}{6}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{7}{6} + \frac{- y^{2}}{6}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{6} + \frac{- y^{2}}{6}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{7}{6} - \frac{y^{2}}{6}$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 7}^{1} \frac{7}{6} - \frac{y^{2}}{6} d y - \int_{- 7}^{1} y d y$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 7$ e $1$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 7}^{1} \frac{7}{6} - \frac{y^{2}}{6} - (y) d y$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $y$ .

$\int_{- 7}^{1} \frac{7}{6} - \frac{y^{2}}{6} - y d y$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 7}^{1} \frac{7}{6} d y + \int_{- 7}^{1} - \frac{y^{2}}{6} d y + \int_{- 7}^{1} - y d y$

Etapa 4.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{7}{6} y]_{- 7}^{1} + \int_{- 7}^{1} - \frac{y^{2}}{6} d y + \int_{- 7}^{1} - y d y$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{7}{6} y]_{- 7}^{1} - \int_{- 7}^{1} \frac{y^{2}}{6} d y + \int_{- 7}^{1} - y d y$

Etapa 4.6

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{7}{6} y]_{- 7}^{1} - (\frac{1}{6} \int_{- 7}^{1} y^{2} d y) + \int_{- 7}^{1} - y d y$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{7}{6} y]_{- 7}^{1} - \frac{1}{6} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 7}^{1} + \int_{- 7}^{1} - y d y$

Etapa 4.8

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{7}{6} y]_{- 7}^{1} - \frac{1}{6} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 7}^{1} - \int_{- 7}^{1} y d y$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{7}{6} y]_{- 7}^{1} - \frac{1}{6} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 7}^{1} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{1})$

Etapa 4.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{7}{6} y]_{- 7}^{1} - \frac{1}{6} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 7}^{1} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 7}^{1})$

Etapa 4.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Avalie $\frac{7}{6} y$ em $1$ e em $- 7$ .

$(\frac{7}{6} \cdot 1) - \frac{7}{6} \cdot - 7 - \frac{1}{6} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 7}^{1} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 7}^{1})$

Etapa 4.10.2.2

Avalie $\frac{1}{3} y^{3}$ em $1$ e em $- 7$ .

$\frac{7}{6} \cdot 1 - \frac{7}{6} \cdot - 7 - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 7}^{1})$

Etapa 4.10.2.3

Avalie $\frac{y^{2}}{2}$ em $1$ e em $- 7$ .

$\frac{7}{6} \cdot 1 - \frac{7}{6} \cdot - 7 - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.1

Multiplique $\frac{7}{6}$ por $1$ .

$\frac{7}{6} - \frac{7}{6} \cdot - 7 - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.2

Multiplique $- 7$ por $- 1$ .

$\frac{7}{6} + 7 (\frac{7}{6}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.3

Combine $7$ e $\frac{7}{6}$ .

$\frac{7}{6} + \frac{7 \cdot 7}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.4

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{7}{6} + \frac{49}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 + 49}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.6

Some $7$ e $49$ .

$\frac{56}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.7

Cancele o fator comum de $56$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.7.1

Fatore $2$ de $56$ .

$\frac{2 (28)}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.7.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 28}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 28}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{28}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{28}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.9

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{28}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 7)}^{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.10

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$\frac{28}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 343) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.11

Multiplique $- 343$ por $- 1$ .

$\frac{28}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} + 343 (\frac{1}{3})) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.12

Combine $343$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{28}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3} + \frac{343}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{28}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1 + 343}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.14

Some $1$ e $343$ .

$\frac{28}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{344}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.15

Multiplique $\frac{344}{3}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{28}{3} - \frac{344}{3 \cdot 6} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.16

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{28}{3} - \frac{344}{18} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.17

Cancele o fator comum de $344$ e $18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.17.1

Fatore $2$ de $344$ .

$\frac{28}{3} - \frac{2 (172)}{18} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.17.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.17.2.1

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{28}{3} - \frac{2 \cdot 172}{2 \cdot 9} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.17.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{28}{3} - \frac{2 \cdot 172}{2 \cdot 9} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.17.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{28}{3} - \frac{172}{9} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.18

Para escrever $\frac{28}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{172}{9} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.19

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.19.1

Multiplique $\frac{28}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{172}{9} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.19.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{28 \cdot 3}{9} - \frac{172}{9} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{28 \cdot 3 - 172}{9} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.21

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.21.1

Multiplique $28$ por $3$ .

$\frac{84 - 172}{9} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.21.2

Subtraia $172$ de $84$ .

$\frac{- 88}{9} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{88}{9} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.23

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{88}{9} - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 7)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.24

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$- \frac{88}{9} - (\frac{1}{2} - \frac{49}{2})$

Etapa 4.10.2.4.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{88}{9} - \frac{1 - 49}{2}$

Etapa 4.10.2.4.26

Subtraia $49$ de $1$ .

$- \frac{88}{9} - \frac{- 48}{2}$

Etapa 4.10.2.4.27

Cancele o fator comum de $- 48$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.27.1

Fatore $2$ de $- 48$ .

$- \frac{88}{9} - \frac{2 \cdot - 24}{2}$

Etapa 4.10.2.4.27.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.27.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{88}{9} - \frac{2 \cdot - 24}{2 (1)}$

Etapa 4.10.2.4.27.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{88}{9} - \frac{2 \cdot - 24}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.10.2.4.27.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{88}{9} - \frac{- 24}{1}$

Etapa 4.10.2.4.27.2.4

Divida $- 24$ por $1$ .

$- \frac{88}{9} - - 24$

Etapa 4.10.2.4.28

Multiplique $- 1$ por $- 24$ .

$- \frac{88}{9} + 24$

Etapa 4.10.2.4.29

Para escrever $24$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{88}{9} + 24 \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 4.10.2.4.30

Combine $24$ e $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{88}{9} + \frac{24 \cdot 9}{9}$

Etapa 4.10.2.4.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 88 + 24 \cdot 9}{9}$

Etapa 4.10.2.4.32

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.32.1

Multiplique $24$ por $9$ .

$\frac{- 88 + 216}{9}$

Etapa 4.10.2.4.32.2

Some $- 88$ e $216$ .

$\frac{128}{9}$

Etapa 5