Cálculo Exemplos

$x^{2} - x - \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $x^{2} - x - \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.1.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Etapa 2.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \frac{1}{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.6

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.8

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0$

Etapa 2.1.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.1.2.5.2

Some $2 + \frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.1.2.5.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

Etapa 2.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$

Etapa 2.2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 2.2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.2.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Etapa 2.2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = - 2 x^{2}$

Etapa 2.2.5

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.5.1

Reescreva a equação como $- 2 x^{2} = 1$ .

$- 2 x^{2} = 1$

Etapa 2.2.5.2

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.5.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 2.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 2.2.5.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 2.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.2.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.5.4.1

Reescreva $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Etapa 2.2.5.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Etapa 2.2.5.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 2.2.5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 2.2.5.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.2.5.4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.2.5.4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.2.5.4.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 2.2.5.4.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.5.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.2.5.4.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 2.2.5.4.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 2.2.5.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.2.5.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.2.5.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.2.5.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.5.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.5.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.5.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.5.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.5.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 2.2.5.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.2.5.4.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(0, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}} + 2$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2$

Etapa 5.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 5.2.3

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Etapa 5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (2) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 5.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (2) = \frac{1 + 8}{4}$

Etapa 5.2.5.2

Some $1$ e $8$ .

$f'' (2) = \frac{9}{4}$

Etapa 5.2.6

A resposta final é $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6