Cálculo Exemplos

$7 \cot (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 \cot (x)$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$7 (- \csc^{2} (x))$

Etapa 1.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = - 7 \csc^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 \csc^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x)$ .

$- 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 7 (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$- 7 (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$- 14 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.4

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 14 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $- 14$ .

$14 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Etapa 2.6

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$14 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Etapa 2.7

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$14 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$14 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Etapa 2.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 14 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 \csc^{2} (x) \cot (x)$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$14 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \csc^{2} (x)$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$14 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$14 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.4

Multiplique $\csc^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $\csc^{2} (x)$ .

$14 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$14 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.4.3

Some $2$ e $2$ .

$14 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\csc^{4} (x)$ .

$14 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.5.2

Reescreva $- 1 \csc^{4} (x)$ como $- \csc^{4} (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 3.7

Mova $2$ para a esquerda de $\cot (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 3.8

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Etapa 3.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Etapa 3.10

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Etapa 3.11

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Etapa 3.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Etapa 3.13

Some $1$ e $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Etapa 3.14

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Etapa 3.15

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Etapa 3.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Etapa 3.17

Some $1$ e $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Etapa 3.18

Simplifique.

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Etapa 3.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$14 (- \csc^{4} (x)) + 14 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Etapa 3.18.2

Combine os termos.

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Etapa 3.18.2.1

Multiplique $- 1$ por $14$ .

$- 14 \csc^{4} (x) + 14 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Etapa 3.18.2.2

Multiplique $- 2$ por $14$ .

$- 14 \csc^{4} (x) - 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Etapa 3.18.3

Reordene os termos.

$f''' (x) = - 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 14 \csc^{4} (x)$