Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

Etapa 1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

Etapa 1.3

Como o expoente $7 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{7 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3.4

Combine $3$ e $\frac{1}{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3.5.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x$ .

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Etapa 3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x]}$

Etapa 3.8.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x]}$

Etapa 3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]}$

Etapa 3.9

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \cdot 1)}$

Etapa 3.11

Multiplique $7$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \cdot 7}$

Etapa 3.12

Mova $7$ para a esquerda de $e^{7 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 \cdot e^{7 x}}$

Etapa 3.13

Multiplique $7$ por $e^{7 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 e^{7 x}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{7 e^{7 x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (7 e^{7 x})}$

Etapa 5.2

Mova o termo $\frac{1}{7}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{7 x})}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x (e^{7 x})}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot 0$

Etapa 7

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $0$ .

$0$