Cálculo Exemplos

$y = \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.6

Some $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 1.8

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Etapa 1.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Etapa 1.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Etapa 1.11

Some $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 1.12

Simplifique.

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Etapa 1.12.1

Reordene $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 1.12.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.12.3

Expanda $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.12.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.12.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.12.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.12.4

Combine os termos opostos em $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 1.12.4.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.12.4.2

Some $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.12.4.3

Some $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.12.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.12.5.1

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 1.12.5.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.12.5.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.12.5.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.12.5.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.12.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Etapa 1.12.5.3

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 1.12.5.3.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Etapa 1.12.5.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Etapa 1.12.5.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Etapa 1.12.5.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 1.12.6

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$