Cálculo Exemplos

$\frac{a x - b}{a x + b}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = a x - b$ e $g (x) = a x + b$ .

$\frac{(a x + b) \frac{d}{d x} [a x - b] - (a x - b) \frac{d}{d x} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x - b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{(a x + b) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- b]) - (a x - b) \frac{d}{d x} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(a x + b) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]) - (a x - b) \frac{d}{d x} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(a x + b) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]) - (a x - b) \frac{d}{d x} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$\frac{(a x + b) (a + \frac{d}{d x} [- b]) - (a x - b) \frac{d}{d x} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $- b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- b$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(a x + b) (a + 0) - (a x - b) \frac{d}{d x} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $a$ e $0$ .

$\frac{(a x + b) a - (a x - b) \frac{d}{d x} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x + b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{(a x + b) a - (a x - b) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(a x + b) a - (a x - b) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(a x + b) a - (a x - b) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$\frac{(a x + b) a - (a x - b) (a + \frac{d}{d x} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(a x + b) a - (a x - b) (a + 0)}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 6.2

Some $a$ e $0$ .

$\frac{(a x + b) a - (a x - b) a}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a x a + b a - (a x - b) a}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a x a + b a + (- (a x) - - b) a}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a x a + b a - (a x) a - - b a}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Combine os termos opostos em $a x a + b a - (a x) a - - b a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.1

Subtraia $(a x) a$ de $a x a$ .

$\frac{b a + 0 - - b a}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 7.4.1.2

Some $b a$ e $0$ .

$\frac{b a - - b a}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $- - b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{b a + 1 b a}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 7.4.2.2

Multiplique $b$ por $1$ .

$\frac{b a + b a}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 7.4.3

Some $b a$ e $b a$ .

$\frac{2 b a}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 7.5

Reordene os termos.

$\frac{2 a b}{{(b + a x)}^{2}}$