Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 x^{2}}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Reordene $x$ e $- x^{3}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{3} + x}$

Etapa 1.3.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é menos infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 1.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Etapa 3.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - (3 x^{2})}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - 3 x^{2}}$

Etapa 3.8

Reordene os termos.

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{- 3 x^{2} + 1}$

Etapa 4

Mova o termo $14$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{x}{- 3 x^{2} + 1}$

Etapa 5

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 6.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 6.1.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 6.1.3.3

Reescreva a expressão.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 6.2.2

Divida $- 3$ por $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$14 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$14 \frac{0}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$14 \frac{0}{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$14 \frac{0}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$14 \frac{0}{- 3 + 0}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum de $0$ e $- 3 + 0$ .

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Etapa 10.1.1

Fatore $3$ de $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{- 3 + 0}$

Etapa 10.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.1.2.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot - 1 + 0}$

Etapa 10.1.2.2

Fatore $3$ de $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0}$

Etapa 10.1.2.3

Fatore $3$ de $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Etapa 10.1.2.4

Cancele o fator comum.

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Etapa 10.1.2.5

Reescreva a expressão.

$14 \frac{0}{- 1 + 0}$

Etapa 10.2

Some $- 1$ e $0$ .

$14 (\frac{0}{- 1})$

Etapa 10.3

Divida $0$ por $- 1$ .

$14 \cdot 0$

Etapa 10.4

Multiplique $14$ por $0$ .

$0$