Cálculo Exemplos

$2 x - 2 \cos (x)$

Etapa 1

Escreva $2 x - 2 \cos (x)$ como uma função.

$f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 - 2 (- \sin (x))$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 + 2 \sin (x)$ .

$2 + 2 \sin (x)$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 + 2 \sin (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = - 2$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 2$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida $- 2$ por $2$ .

$\sin (x) = - 1$

Etapa 3.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 3.5

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 3.6

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 3.7.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.8

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.9

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 3.9.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.9.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.9.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.9.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 3.9.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.10

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.11

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ na expressão.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Etapa 6.2

A resposta final é $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Etapa 6.4

Em $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ , a derivada é $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ na expressão.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Etapa 7.2

A resposta final é $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Etapa 7.4

Em $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ , a derivada é $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

Etapa 9