Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} x \tan (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Reescreva $x \tan (\frac{1}{x})$ como $\frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \tan (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{\tan (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.2.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.2.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5.2

Combine $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.5.3.1

Reescreva $\sec (\frac{1}{x})$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{{(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5.5

Combine.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5.7

Reordene os fatores em $- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.6

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- x^{- 2}}$

Etapa 2.3.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} (- x^{2})$

Etapa 2.5

Combine os fatores.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

Etapa 2.5.3

Combine $\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Etapa 2.7

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Etapa 2.8

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$ como ${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$

Etapa 2.9

Converta de $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ em $\sec (\frac{1}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \sec^{2} (\frac{1}{x})$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

${(lim_{x \to \infty} \sec (\frac{1}{x}))}^{2}$

Etapa 3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\sec^{2} (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\sec^{2} (0)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$1^{2}$

Etapa 5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1$