Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Etapa 3.5.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \cdot 1}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7}$

Etapa 4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $x$ de $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Etapa 5.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x^{1}}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Etapa 5.1.2.3

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Etapa 5.1.2.4

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Etapa 5.1.2.5

Divida $4 x^{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $6$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 + \frac{- 7}{x}}$

Etapa 5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - \frac{7}{x}}$

Etapa 6

À medida que $x$ se aproxima de $\infty$ , a fração $\frac{7}{x}$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - 0}$

Etapa 7

Como seu numerador é ilimitado e seu denominador se aproxima de um número constante, a fração $\frac{4 x^{2}}{6 - 0}$ se aproxima do infinito.

$\infty$