Cálculo Exemplos

$y = 8 \csc (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \csc (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$8 (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 (\csc (x) \cot (x))$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores de $- 8 \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - 8 \cot (x) \csc (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 \cot (x) \csc (x)$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$- 8 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Etapa 2.3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 8 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Etapa 2.4

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$- 8 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Etapa 2.5

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$- 8 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 8 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Etapa 2.8

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Etapa 2.9

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))$

Etapa 2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Etapa 2.11

Some $1$ e $2$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Etapa 2.12

Simplifique.

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Etapa 2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 8 (- \csc^{3} (x))$

Etapa 2.12.2

Combine os termos.

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Etapa 2.12.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$8 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 8 (- \csc^{3} (x))$

Etapa 2.12.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$8 \csc (x) \cot^{2} (x) + 8 \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 8 \cot^{2} (x) \csc (x) + 8 \csc^{3} (x)$