Cálculo Exemplos

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $2 y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $y^{2} = 2 x$ por $2 y$ .

$y^{2} = 2 (2 y)$

$x = 2 y$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

Etapa 1.2

Resolva $y$ em $y^{2} = 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Etapa 1.2.2

Fatore $y$ de $y^{2} - 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y \cdot y - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $y$ de $- 4 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 4 = 0$

$x = 2 y$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y \cdot - 4$ .

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Etapa 1.2.4

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

$x = 2 y$

Etapa 1.2.5

Defina $y - 4$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $y - 4$ como igual a $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Etapa 1.2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = 4$

$x = 2 y$

$y = 4$

$x = 2 y$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $y (y - 4) = 0$ verdadeiro.

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $0$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 2 y$ por $0$ .

$x = 2 (0)$

$y = 0$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $4$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 2 y$ por $4$ .

$x = 2 (4)$

$y = 4$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(8, 4)$

$(0, 0)$

$(8, 4)$

Etapa 2

Resolva $y^{2} = 2 x$ em termos de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $2 x = y^{2}$ .

$2 x = y^{2}$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $2 x = y^{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $2 x = y^{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 y d y - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $4$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{4} 2 y - (\frac{y^{2}}{2}) d y$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\int_{0}^{4} 2 y - \frac{y^{2}}{2} d y$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{4} 2 y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Etapa 4.4

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{4} y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Etapa 4.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Etapa 4.7

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Etapa 4.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4} y^{2} d y)$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Etapa 4.10

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Avalie $\frac{y^{2}}{2}$ em $4$ e em $0$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Etapa 4.10.2

Avalie $\frac{1}{3} y^{3}$ em $4$ e em $0$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$2 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 (8 - \frac{0}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.4.1

Fatore $2$ de $0$ .

$2 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (8 - \frac{0}{1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$2 (8 - 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 (8 + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.6

Some $8$ e $0$ .

$2 \cdot 8 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.7

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.8

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $64$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 4.10.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Etapa 4.10.3.11

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Etapa 4.10.3.12

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0)$

Etapa 4.10.3.13

Some $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$16 - \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Etapa 4.10.3.14

Multiplique $\frac{64}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$16 - \frac{64}{3 \cdot 2}$

Etapa 4.10.3.15

Multiplique $3$ por $2$ .

$16 - \frac{64}{6}$

Etapa 4.10.3.16

Cancele o fator comum de $64$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.16.1

Fatore $2$ de $64$ .

$16 - \frac{2 (32)}{6}$

Etapa 4.10.3.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.16.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.10.3.16.2.2

Cancele o fator comum.

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.10.3.16.2.3

Reescreva a expressão.

$16 - \frac{32}{3}$

Etapa 4.10.3.17

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Etapa 4.10.3.18

Combine $16$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Etapa 4.10.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Etapa 4.10.3.20

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.20.1

Multiplique $16$ por $3$ .

$\frac{48 - 32}{3}$

Etapa 4.10.3.20.2

Subtraia $32$ de $48$ .

$\frac{16}{3}$

Etapa 5