Cálculo Exemplos

$7 x \sqrt[3]{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x \cdot x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{3}} x)]$

Etapa 1.2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{3}} x^{1})]$

Etapa 1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3} + 1}]$

Etapa 1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}]$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 3}{3}}]$

Etapa 1.2.5

Some $1$ e $3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{\frac{4}{3}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Etapa 1.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Etapa 1.8.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.9

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$7 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.10

Combine $7$ e $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 1.11

Multiplique $4$ por $7$ .

$f' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\frac{28}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{28}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 2.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 2.9

Multiplique $\frac{28}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{28 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.10

Multiplique.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{28 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Etapa 2.10.2

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $\frac{28}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{28}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Etapa 3.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Etapa 3.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Etapa 3.7.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Etapa 3.9

Combine $x^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Etapa 3.10

Multiplique $\frac{28}{9}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{28 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{9 \cdot 3}$

Etapa 3.11

Multiplique.

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Etapa 3.11.1

Multiplique $2$ por $28$ .

$- \frac{56 x^{- \frac{5}{3}}}{9 \cdot 3}$

Etapa 3.11.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$- \frac{56 x^{- \frac{5}{3}}}{27}$

Etapa 3.11.3

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{56}{27 x^{\frac{5}{3}}}$