Cálculo Exemplos

$- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2} e^{x}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x e^{x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x e^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Etapa 1.3.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 e^{x}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Etapa 1.5.3

Combine os termos.

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Etapa 1.5.3.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Etapa 1.5.3.2

Some $- 8 e^{x} x$ e $5 x e^{x}$ .

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Etapa 1.5.3.2.1

Mova $e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 5 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Etapa 1.5.3.2.2

Some $- 8 x e^{x}$ e $5 x e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Etapa 1.5.3.3

Subtraia $10 e^{x}$ de $5 e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

Etapa 1.5.4

Reordene os termos.

$- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$

Etapa 1.5.5

Reordene os fatores em $- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2} e^{x}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x e^{x}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 e^{x}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Etapa 2.5.3

Combine os termos.

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Etapa 2.5.3.2

Subtraia $3 x e^{x}$ de $- 8 e^{x} x$ .

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Etapa 2.5.3.2.1

Mova $e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} - 3 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Etapa 2.5.3.2.2

Subtraia $3 x e^{x}$ de $- 8 x e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Etapa 2.5.3.3

Subtraia $5 e^{x}$ de $- 3 e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$

Etapa 2.5.4

Reordene os termos.

$- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$

Etapa 2.5.5

Reordene os fatores em $- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$