Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} - 6 x y = 0$ , $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x^{3} + y^{3} - 6 x y) = \frac{d}{d y} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3} - 6 x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 x y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 6 x y]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 6 x y$ em relação a $y$ é $- 6 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.4.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x \cdot 1 + y x')$

Etapa 2.4.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 (x + y x')$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 x - 6 (y x')$

Etapa 2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 x^{2} x' + 3 y^{2} - 6 x - 6 y x'$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 y x' - 6 x$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $0$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 y x' - 6 x = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $3 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} x' - 6 y x' - 6 x = - 3 y^{2}$

Etapa 5.1.2

Some $6 x$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} x' - 6 y x' = - 3 y^{2} + 6 x$

Etapa 5.2

Fatore $3 x'$ de $3 x^{2} x' - 6 y x'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $3 x'$ de $3 x^{2} x'$ .

$3 x' x^{2} - 6 y x' = - 3 y^{2} + 6 x$

Etapa 5.2.2

Fatore $3 x'$ de $- 6 y x'$ .

$3 x' x^{2} + 3 x' (- 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$

Etapa 5.2.3

Fatore $3 x'$ de $3 x' x^{2} + 3 x' (- 2 y)$ .

$3 x' (x^{2} - 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $3 x' (x^{2} - 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$ por $3 (x^{2} - 2 y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 x' (x^{2} - 2 y) = - 3 y^{2} + 6 x$ por $3 (x^{2} - 2 y)$ .

$\frac{3 x' (x^{2} - 2 y)}{3 (x^{2} - 2 y)} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x' (x^{2} - 2 y)}{3 (x^{2} - 2 y)} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2} - 2 y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $3$ de $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{3 (- y^{2})}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{3 (- y^{2})}{3 (x^{2} - 2 y)} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{- y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{6 x}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.1

Fatore $3$ de $6 x$ .

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{3 (2 x)}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{3 (2 x)}{3 (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$x' = - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 y} + \frac{2 x}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{- y^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$x' = \frac{- (y^{2}) + 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$x' = \frac{- (y^{2}) - (- 2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (y^{2}) - (- 2 x)$ .

$x' = \frac{- (y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.5.1

Reescreva $- (y^{2} - 2 x)$ como $- 1 (y^{2} - 2 x)$ .

$x' = \frac{- 1 (y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{y^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 7

Substitua $x$ por $\frac{4}{3}$ e $y$ por $\frac{8}{3}$ na expressão.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$- \frac{\frac{64}{3^{2}} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - 2 (\frac{4}{3})}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- 2 (\frac{4}{3})$ .

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Etapa 8.1.4.1

Combine $- 2$ e $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{\frac{64}{9} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- \frac{\frac{64}{9} + \frac{- 8}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.6

Para escrever $- \frac{8}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.1.7.1

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{\frac{64}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\frac{64 - 8 \cdot 3}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.9.1

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$- \frac{\frac{64 - 24}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.1.9.2

Subtraia $24$ de $64$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{4^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{3^{2}} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - 2 (\frac{8}{3})}$

Etapa 8.2.4

Multiplique $- 2 (\frac{8}{3})$ .

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Etapa 8.2.4.1

Combine $- 2$ e $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} + \frac{- 2 \cdot 8}{3}}$

Etapa 8.2.4.2

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} + \frac{- 16}{3}}$

Etapa 8.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16}{3}}$

Etapa 8.2.6

Para escrever $- \frac{16}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 8.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.7.1

Multiplique $\frac{16}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Etapa 8.2.7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}}$

Etapa 8.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16 - 16 \cdot 3}{9}}$

Etapa 8.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.9.1

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{16 - 48}{9}}$

Etapa 8.2.9.2

Subtraia $48$ de $16$ .

$- \frac{\frac{40}{9}}{\frac{- 32}{9}}$

Etapa 8.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\frac{40}{9}}{- \frac{32}{9}}$

Etapa 8.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{40}{9} (- \frac{9}{32}))$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 8.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{9}{32}$ para o numerador.

$- (\frac{40}{9} \cdot \frac{- 9}{32})$

Etapa 8.4.2

Fatore $8$ de $40$ .

$- (\frac{8 (5)}{9} \cdot \frac{- 9}{32})$

Etapa 8.4.3

Fatore $8$ de $32$ .

$- (\frac{8 \cdot 5}{9} \cdot \frac{- 9}{8 \cdot 4})$

Etapa 8.4.4

Cancele o fator comum.

$- (\frac{8 \cdot 5}{9} \cdot \frac{- 9}{8 \cdot 4})$

Etapa 8.4.5

Reescreva a expressão.

$- (\frac{5}{9} \cdot \frac{- 9}{4})$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 8.5.1

Fatore $9$ de $- 9$ .

$- (\frac{5}{9} \cdot \frac{9 (- 1)}{4})$

Etapa 8.5.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{5}{9} \cdot \frac{9 \cdot - 1}{4})$

Etapa 8.5.3

Reescreva a expressão.

$- (5 (\frac{- 1}{4}))$

Etapa 8.6

Combine $5$ e $\frac{- 1}{4}$ .

$- \frac{5 \cdot - 1}{4}$

Etapa 8.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.7.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- \frac{- 5}{4}$

Etapa 8.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{5}{4}$

Etapa 8.8

Multiplique $- - \frac{5}{4}$ .

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Etapa 8.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{5}{4})$

Etapa 8.8.2

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$\frac{5}{4}$