Cálculo Exemplos

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x e^{x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 1.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$8 e^{x} x + 8 e^{x}$

Etapa 1.5.3

Reordene os fatores em $8 e^{x} x + 8 e^{x}$ .

$8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$8 (0) \cdot e^{0} + 8 e^{0}$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$0 \cdot e^{0} + 8 e^{0}$

Etapa 1.7.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{0}$

Etapa 1.7.1.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 8 e^{0}$

Etapa 1.7.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Etapa 1.7.1.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$0 + 8$

Etapa 1.7.2

Some $0$ e $8$ .

$8$

Etapa 2

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Use o inverso negativo da inclinação da reta tangente para encontrar a inclinação da reta normal.

$- \frac{1}{8}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- \frac{1}{8}$ e um ponto determinado $(0, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - \frac{1}{8} \cdot (x - (0))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = - \frac{1}{8} \cdot (x + 0)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot (x + 0)$

Etapa 3.3.2

Simplifique $- \frac{1}{8} \cdot (x + 0)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Some $x$ e $0$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot x$

Etapa 3.3.2.2

Combine $x$ e $\frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{x}{8}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{8} x)$

Etapa 3.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{8} x$

Etapa 4