Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

Etapa 1.2

Como o expoente $x^{2}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x^{2}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{x^{4}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 3.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}}$

Etapa 4

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $2$ de $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x^{3}}$

Etapa 4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x^{3})}$

Etapa 4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x^{3}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{2 x^{3}}$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (e^{x^{2}})}{x (2 x^{2})}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{x (2 x^{2})}$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

Etapa 5.1.2

Como o expoente $x^{2}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x^{2}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}$

Etapa 5.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Etapa 5.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Etapa 5.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Etapa 5.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Etapa 5.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Etapa 5.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{2 (2 x)}$

Etapa 5.3.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x}$

Etapa 5.4

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{4 x}$

Etapa 5.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

Etapa 5.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x e^{x^{2}})}{2 (2 x)}$

Etapa 5.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x e^{x^{2}}}{2 x}$

Etapa 5.4.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x^{2}}}{2}$

Etapa 6

Como a função $e^{x^{2}}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $\frac{1}{2}$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Considere o limite com o múltiplo constante $\frac{1}{2}$ removido.

$lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}$

Etapa 6.2

Como o expoente $x^{2}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x^{2}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\infty$