Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} {(14 + x)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva ${(14 + x)}^{2}$ como $(14 + x) (14 + x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} ((14 + x) (14 + x))]$

Etapa 1.1.2

Expanda $(14 + x) (14 + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 (14 + x) + x (14 + x))]$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x (14 + x))]$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $14$ por $14$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova $14$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + 14 \cdot x + x \cdot x)]$

Etapa 1.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + 14 x + x^{2})]$

Etapa 1.1.3.2

Some $14 x$ e $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Etapa 1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 196 + 28 x + x^{2}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [196 + 28 x + x^{2}] + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.6

Diferencie.

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Etapa 1.1.6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $196 + 28 x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.6.2

Como $196$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $196$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.6.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [28 x]$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.6.4

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28 x$ em relação a $x$ é $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{2} (28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.6.6

Multiplique $28$ por $1$ .

$2 (x^{2} (28 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.6.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) (2 x))$

Etapa 1.1.6.9

Mova $2$ para a esquerda de $196 + 28 x + x^{2}$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + 2 \cdot (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Etapa 1.1.7

Simplifique.

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Etapa 1.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + (2 \cdot 196 + 2 (28 x) + 2 x^{2}) x)$

Etapa 1.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 \cdot 196 x + 2 (28 x) x + 2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{2} \cdot 28) + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5

Combine os termos.

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Etapa 1.1.7.5.1

Mova $28$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 (28 \cdot x^{2}) + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.2

Multiplique $28$ por $2$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.7.5.3.1

Mova $x$ .

$56 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.7.5.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$56 x^{2} + 2 (x^{1 + 2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.3.3

Some $1$ e $2$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{3} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$56 x^{2} + 2 (2 \cdot x^{3}) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.6

Multiplique $2$ por $196$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 2 (392 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.7

Multiplique $392$ por $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.8

Multiplique $28$ por $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x \cdot x) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 (x^{1} x)) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 (x^{1} x^{1})) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x^{1 + 1}) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.12

Some $1$ e $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x^{2}) + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.13

Multiplique $56$ por $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{2} x)$

Etapa 1.1.7.5.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 (x^{1} x^{2}))$

Etapa 1.1.7.5.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{1 + 2})$

Etapa 1.1.7.5.16

Some $1$ e $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{3})$

Etapa 1.1.7.5.17

Multiplique $2$ por $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 4 x^{3}$

Etapa 1.1.7.5.18

Some $56 x^{2}$ e $112 x^{2}$ .

$168 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 4 x^{3}$

Etapa 1.1.7.5.19

Some $4 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$168 x^{2} + 8 x^{3} + 784 x$

Etapa 1.1.7.6

Reordene os termos.

$f' (x) = 8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$ .

$8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $8 x$ de $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $8 x$ de $8 x^{3}$ .

$8 x (x^{2}) + 168 x^{2} + 784 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $8 x$ de $168 x^{2}$ .

$8 x (x^{2}) + 8 x (21 x) + 784 x = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $8 x$ de $784 x$ .

$8 x (x^{2}) + 8 x (21 x) + 8 x (98) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $8 x$ de $8 x (x^{2}) + 8 x (21 x)$ .

$8 x (x^{2} + 21 x) + 8 x (98) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $8 x$ de $8 x (x^{2} + 21 x) + 8 x (98)$ .

$8 x (x^{2} + 21 x + 98) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} + 21 x + 98$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $98$ e cuja soma é $21$ .

$7, 14$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$8 x ((x + 7) (x + 14)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$8 x (x + 7) (x + 14) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x + 14 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 2.6

Defina $x + 14$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x + 14$ como igual a $0$ .

$x + 14 = 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $14$ dos dois lados da equação.

$x = - 14$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $8 x (x + 7) (x + 14) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 7, - 14$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 7, - 14$ .

$0, - 7, - 14$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 14) \cup (- 14, - 7) \cup (- 7, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 14)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 15$ na expressão.

$f' (- 15) = 8 {(- 15)}^{3} + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 15$ à potência de $3$ .

$f' (- 15) = 8 \cdot - 3375 + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $8$ por $- 3375$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 15$ à potência de $2$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 168 \cdot 225 + 784 (- 15)$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $168$ por $225$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 37800 + 784 (- 15)$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $784$ por $- 15$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 37800 - 11760$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Some $- 27000$ e $37800$ .

$f' (- 15) = 10800 - 11760$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $11760$ de $10800$ .

$f' (- 15) = - 960$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 960$ .

$- 960$

Etapa 5.3

Em $x = - 15$ , a derivada é $- 960$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 14)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 14)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 14, - 7)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{21}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 {(- \frac{21}{2})}^{3} + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{21}{2})}^{3}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{21^{3}}{2^{3}})) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{21^{3}}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $21$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{9261}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.5

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{9261}{8}$ para o numerador.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (\frac{- 9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (\frac{- 9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 ({(- 1)}^{2} (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (1 (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique $\frac{21^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{21^{2}}{2^{2}}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.9

Eleve $21$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{441}{2^{2}}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{441}{4}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.11

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.11.1

Fatore $4$ de $168$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 4 (42) (\frac{441}{4}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.11.2

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 4 \cdot (42 (\frac{441}{4})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.11.3

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 42 \cdot 441 + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.12

Multiplique $42$ por $441$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 784 (- \frac{21}{2})$

Etapa 6.2.1.13

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.13.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{21}{2}$ para o numerador.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 784 (\frac{- 21}{2})$

Etapa 6.2.1.13.2

Fatore $2$ de $784$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 2 (392) (\frac{- 21}{2})$

Etapa 6.2.1.13.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 2 \cdot (392 (\frac{- 21}{2}))$

Etapa 6.2.1.13.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 392 \cdot - 21$

Etapa 6.2.1.14

Multiplique $392$ por $- 21$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 - 8232$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 9261$ e $18522$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 9261 - 8232$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $8232$ de $9261$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 1029$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $1029$ .

$1029$

Etapa 6.3

Em $x = - \frac{21}{2}$ , a derivada é $1029$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 14, - 7)$ .

Acréscimo em $(- 14, - 7)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 7, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{7}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{343}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.5

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{343}{8}$ para o numerador.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (\frac{- 343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (\frac{- 343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.8

Multiplique $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.9

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{49}{2^{2}}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{49}{4}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.11

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.11.1

Fatore $4$ de $168$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 4 (42) (\frac{49}{4}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.11.2

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 4 \cdot (42 (\frac{49}{4})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.11.3

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 42 \cdot 49 + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.12

Multiplique $42$ por $49$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 784 (- \frac{7}{2})$

Etapa 7.2.1.13

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.13.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{2}$ para o numerador.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 784 (\frac{- 7}{2})$

Etapa 7.2.1.13.2

Fatore $2$ de $784$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 2 (392) (\frac{- 7}{2})$

Etapa 7.2.1.13.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 2 \cdot (392 (\frac{- 7}{2}))$

Etapa 7.2.1.13.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 392 \cdot - 7$

Etapa 7.2.1.14

Multiplique $392$ por $- 7$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 - 2744$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Some $- 343$ e $2058$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 1715 - 2744$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $2744$ de $1715$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 1029$ .

$- 1029$

Etapa 7.3

Em $x = - \frac{7}{2}$ , a derivada é $- 1029$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 7, 0)$ .

Decréscimo em $(- 7, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 8 \cdot 1 + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Etapa 8.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 8 + 168 \cdot 1 + 784 (1)$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $168$ por $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 + 784 (1)$

Etapa 8.2.1.5

Multiplique $784$ por $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 + 784$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $8$ e $168$ .

$f' (1) = 176 + 784$

Etapa 8.2.2.2

Some $176$ e $784$ .

$f' (1) = 960$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $960$ .

$960$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $960$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 14, - 7), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 14), (- 7, 0)$

Etapa 10