Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x} - \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} - \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.5

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, x^{2}, 1$

Etapa 2.2.2

Como $x, x^{2}, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x, x^{2}, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $x, x^{2}, 1$ .

Etapa 2.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.2.6

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.2.7

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 2.2.8

O MMC de $x^{1}, x^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x$

Etapa 2.2.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$- x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- x - 1 = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$- x - 1 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- x = 1$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $- x = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $- x = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x = - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $\frac{1}{x} - \ln (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{1}{- 1} - \ln (- 1)$

Etapa 4.1.2

O logaritmo natural de um número negativo é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{1}{0} - \ln (0)$

Etapa 4.2.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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