Cálculo Exemplos

$f (x) = (11 - x) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) ((x + 1) (x + 1))]$

Etapa 1.1.2

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x (x + 1) + 1 (x + 1))]$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))]$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Etapa 1.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Etapa 1.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)]$

Etapa 1.1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + x + 1)]$

Etapa 1.1.3.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + 2 x + 1)]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 11 - x$ e $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

$(11 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Etapa 1.1.5

Diferencie.

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Etapa 1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(11 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Etapa 1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(11 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Etapa 1.1.5.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Etapa 1.1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Etapa 1.1.5.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$(11 - x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Etapa 1.1.5.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2 + 0) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Etapa 1.1.5.7

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Etapa 1.1.5.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $11 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.5.9

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.5.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.5.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.5.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.1.5.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.5.13.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \cdot - 1$

Etapa 1.1.5.13.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2} + 2 x + 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) - 1 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.13.3

Reescreva $- 1 (x^{2} + 2 x + 1)$ como $- (x^{2} + 2 x + 1)$ .

$(11 - x) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1)$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(11 - x) (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(11 - x) (2 x) + (11 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$11 (2 x) - x (2 x) + (11 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$11 (2 x) - x (2 x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5

Combine os termos.

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Etapa 1.1.6.5.1

Multiplique $2$ por $11$ .

$22 x - x (2 x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$22 x - 2 x \cdot x + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$22 x - 2 (x^{1} x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$22 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$22 x - 2 x^{1 + 1} + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5.6

Some $1$ e $1$ .

$22 x - 2 x^{2} + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5.7

Multiplique $11$ por $2$ .

$22 x - 2 x^{2} + 22 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$22 x - 2 x^{2} + 22 - 2 x - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5.9

Subtraia $2 x$ de $22 x$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.6.5.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - 2 x - 1$

Etapa 1.1.6.5.12

Subtraia $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$20 x - 3 x^{2} + 22 - 2 x - 1$

Etapa 1.1.6.5.13

Subtraia $2 x$ de $20 x$ .

$18 x - 3 x^{2} + 22 - 1$

Etapa 1.1.6.5.14

Subtraia $1$ de $22$ .

$18 x - 3 x^{2} + 21$

Etapa 1.1.6.6

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 21$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 18 x + 21$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{2} + 18 x + 21$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $- 3$ de $18 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 6 x) + 21 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $- 3$ de $21$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 6 x) - 3 \cdot - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2}) - 3 (- 6 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 6 x) - 3 \cdot - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $- 3$ de $- 3 (x^{2} - 6 x) - 3 (- 7)$ .

$- 3 (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x - 7$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 7, 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 3 ((x - 7) (x + 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 (x - 7) (x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 (x - 7) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $(11 - x) {(x + 1)}^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 7$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $7$ por $x$ .

$(11 - (7)) {((7) + 1)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$(11 - 7) {((7) + 1)}^{2}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $7$ de $11$ .

$4 {((7) + 1)}^{2}$

Etapa 4.1.2.3

Some $7$ e $1$ .

$4 \cdot 8^{2}$

Etapa 4.1.2.4

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$4 \cdot 64$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $4$ por $64$ .

$256$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$(11 - (- 1)) {((- 1) + 1)}^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(11 + 1) {((- 1) + 1)}^{2}$

Etapa 4.2.2.2

Some $11$ e $1$ .

$12 {((- 1) + 1)}^{2}$

Etapa 4.2.2.3

Some $- 1$ e $1$ .

$12 \cdot 0^{2}$

Etapa 4.2.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0$

Etapa 4.2.2.5

Multiplique $12$ por $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(7, 256), (- 1, 0)$

Etapa 5