Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Etapa 1.3

Como o expoente $x^{2}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x^{2}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} (2 x)}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{x^{2}} x}$

Etapa 3.5.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 x e^{x^{2}}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{2 x e^{x^{2}}}$

Etapa 4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.1

Fatore $x$ de $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

Etapa 4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{2 e^{x^{2}}}$

Etapa 4.2

Mova o termo $\frac{3}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Etapa 5.1.3

Como o expoente $x^{2}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x^{2}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Etapa 5.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \cdot 2 x}$

Etapa 5.3.5

Simplifique.

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Etapa 5.3.5.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

Etapa 5.3.5.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 8.1.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

Etapa 8.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $0$ .

$0$