Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\arcsin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

Etapa 3.2

Como $\frac{1}{u}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x - 1}{u}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

Etapa 3.7.2

Multiplique $\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 1}{u}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Etapa 4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Etapa 4.2.3

Reescreva $\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ como $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ .

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Etapa 4.2.3.1

Reescreva $\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ como ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

Etapa 4.2.3.1.2

Fatore a potência perfeita $u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

Etapa 4.2.3.1.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

Etapa 4.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

Etapa 4.2.4

Combine $\frac{1}{u}$ e $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Etapa 4.2.5

Combine $u$ e $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ .

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Etapa 4.2.6

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 4.2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Etapa 4.2.6.2

Divida $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$