Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \ln (\csc (x^{2}))$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \ln (\csc (x^{2}))$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \csc (x^{2})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{1}{\csc (x^{2})} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Etapa 3

Reescreva $\csc (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$2 (\frac{1}{\frac{1}{\sin (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Etapa 4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

$2 (1 \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Etapa 5

Multiplique $\sin (x^{2})$ por $1$ .

$2 (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) (\csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reordene os fatores de $- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$ .

$- 4 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Etapa 8.2

Reescreva $\cot (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Etapa 8.3

Multiplique $- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $- 4$ e $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$x \frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Etapa 8.3.2

Combine $x$ e $\frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{x (- 4 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Etapa 8.4

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Etapa 8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Etapa 8.6

Reescreva $\csc (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Etapa 8.7

Multiplique $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

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Etapa 8.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ por $\frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Etapa 8.7.2

Eleve $\sin (x^{2})$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Etapa 8.7.3

Eleve $\sin (x^{2})$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Etapa 8.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x^{2})$

Etapa 8.7.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Etapa 8.8

Cancele o fator comum de $\sin (x^{2})$ .

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Etapa 8.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ para o numerador.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Etapa 8.8.2

Fatore $\sin (x^{2})$ de $\sin^{2} (x^{2})$ .

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Etapa 8.8.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Etapa 8.8.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Etapa 8.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Etapa 8.10

Separe as frações.

$- (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})})$

Etapa 8.11

Converta de $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ em $\cot (x^{2})$ .

$- (\frac{4 x}{1} \cot (x^{2}))$

Etapa 8.12

Divida $4 x$ por $1$ .

$- (4 x \cot (x^{2}))$

Etapa 8.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x \cot (x^{2})$