Cálculo Exemplos

$f (x) = 22 \arctan (\sqrt{s})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{s}$ como $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [22 \arctan (s^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.2

Como $22$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $22 \arctan (s^{\frac{1}{2}})$ em relação a $s$ é $22 \frac{d}{d s} [\arctan (s^{\frac{1}{2}})]$ .

$22 \frac{d}{d s} [\arctan (s^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ é $f' (g (s)) g' (s)$ , em que $f (s) = \arctan (s)$ e $g (s) = s^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $s^{\frac{1}{2}}$ .

$22 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$22 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $s^{\frac{1}{2}}$ .

$22 (\frac{1}{1 + {(s^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$22 (\frac{1}{1 + s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$22 (\frac{1}{1 + s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$22 (\frac{1}{1 + s^{1}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4

Simplifique.

$22 (\frac{1}{1 + s} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{1 + s}$ e $22$ .

$\frac{22}{1 + s} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{22}{1 + s} \cdot \frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 13

Multiplique $\frac{22}{1 + s}$ por $\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{22 s^{- \frac{1}{2}}}{(1 + s) \cdot 2}$

Etapa 14

Simplifique a expressão.

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Etapa 14.1

Mova $2$ para a esquerda de $1 + s$ .

$\frac{22 s^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + s)}$

Etapa 14.2

Mova $s^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{22}{2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Fatore $2$ de $22$ .

$\frac{2 \cdot 11}{2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.1

Fatore $2$ de $2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 11}{2 ((1 + s) s^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 11}{2 ((1 + s) s^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 16.3

Reescreva a expressão.

$\frac{11}{(1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{11}{1 s^{\frac{1}{2}} + s \cdot s^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2

Combine os termos.

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Etapa 17.2.1

Multiplique $s^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s \cdot s^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2

Multiplique $s$ por $s^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 17.2.2.1

Multiplique $s$ por $s^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 17.2.2.1.1

Eleve $s$ à potência de $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{1} s^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 17.2.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 17.3.1

Fatore $s^{\frac{1}{2}}$ de $s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 17.3.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.3.1.2

Fatore $s^{\frac{1}{2}}$ de $s^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 17.3.1.3

Fatore $s^{\frac{1}{2}}$ de $s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 17.3.2

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s^{1})}$

Etapa 17.3.3

Simplifique.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s)}$