Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 e^{1 - x^{2}} \cdot \ln (x)$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{1 - x^{2}} \ln (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{1 - x^{2}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Etapa 4

Combine $e^{1 - x^{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{2}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

Etapa 6.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

Etapa 6.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Etapa 6.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])))$

Etapa 6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))))$

Etapa 6.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)))$

Etapa 7

Para escrever $\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x})$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x}$

Etapa 9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x)))}{x}$

Etapa 10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x^{1})))}{x}$

Etapa 11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{1 + 1}))}{x}$

Etapa 12

Some $1$ e $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$

Etapa 13

Combine $3$ e $\frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$ .

$\frac{3 (e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

Etapa 14.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- 2 \ln (x) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Etapa 14.2.1.2

Simplifique $- 2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Etapa 14.2.1.3

Multiplique $3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))$ .

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Etapa 14.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 (\ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Etapa 14.2.1.3.2

Reordene $\ln (x^{2})$ e $- 3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 \cdot \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Etapa 14.2.1.3.3

Simplifique $- 3 \cdot \ln (x^{2})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln ({(x^{2})}^{3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Etapa 14.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

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Etapa 14.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{2 \cdot 3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Etapa 14.2.1.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Etapa 14.2.2

Reordene os fatores em $3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - x^{2} e^{1 - x^{2}} \ln (x^{6})}{x}$

Etapa 14.3

Reordene os termos.

$\frac{- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

Etapa 14.4

Fatore $e^{1 - x^{2}}$ de $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}$ .

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Etapa 14.4.1

Fatore $e^{1 - x^{2}}$ de $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6})$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

Etapa 14.4.2

Fatore $e^{1 - x^{2}}$ de $3 e^{1 - x^{2}}$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3}{x}$

Etapa 14.4.3

Fatore $e^{1 - x^{2}}$ de $e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6}) + 3)}{x}$

Etapa 14.5

Fatore $- 1$ de $- x^{2} \ln (x^{6})$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) + 3)}{x}$

Etapa 14.6

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3))}{x}$

Etapa 14.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

Etapa 14.8

Reescreva $- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ como $- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

Etapa 14.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{1 - x^{2}} (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)}{x}$