Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 (x^{2})}{5 x - 1}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{2}}{5 x - 1}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x - 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x - 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 5 x - 1$ .

$3 \frac{(5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 \frac{(5 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 x - 1$ .

$3 \frac{2 \cdot (5 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 \frac{2 (5 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 (5 x - 1) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{2 (5 x - 1) x - x^{2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$3 \frac{2 (5 x - 1) x - x^{2} (5 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{2 (5 x - 1) x - x^{2} (5 + 0)}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Combine frações.

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Etapa 3.8.1

Some $5$ e $0$ .

$3 \frac{2 (5 x - 1) x - x^{2} \cdot 5}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$3 \frac{2 (5 x - 1) x - 5 x^{2}}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8.3

Combine $3$ e $\frac{2 (5 x - 1) x - 5 x^{2}}{{(5 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 (2 (5 x - 1) x - 5 x^{2})}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 ((2 (5 x) + 2 \cdot - 1) x - 5 x^{2})}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 (5 x) x + 2 \cdot - 1 x - 5 x^{2})}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 (5 x) x) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 5 x^{2})}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{3 (2 (5 (x \cdot x))) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 5 x^{2})}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 (2 (5 x^{2})) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 5 x^{2})}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{3 (10 x^{2}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 5 x^{2})}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.3

Multiplique $10$ por $3$ .

$\frac{30 x^{2} + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 5 x^{2})}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{30 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 (- 5 x^{2})}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{30 x^{2} - 6 x + 3 (- 5 x^{2})}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{30 x^{2} - 6 x - 15 x^{2}}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Subtraia $15 x^{2}$ de $30 x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2} - 6 x}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.5

Fatore $3 x$ de $15 x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $3 x$ de $15 x^{2}$ .

$\frac{3 x (5 x) - 6 x}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.5.2

Fatore $3 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 x (5 x) + 3 x (- 2)}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.5.3

Fatore $3 x$ de $3 x (5 x) + 3 x (- 2)$ .

$\frac{3 x (5 x - 2)}{{(5 x - 1)}^{2}}$