Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.9.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.11

Some $1$ e $0$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.12

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.13

Multiplique $\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$3 \frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.14

Mova ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.15

Combine $3$ e $\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.16

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.17

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.18

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.18.1

Fatore $3$ de $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 ({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.18.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.18.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Etapa 3.2

Some $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ e $0$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$