Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x - \sqrt{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \sqrt{x^{2} + x + 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + x + 1}$ como ${(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + x + 1$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + x + 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1 + 0))$

Etapa 3.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Etapa 3.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Etapa 3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Etapa 3.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Etapa 3.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Etapa 3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Etapa 3.13

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

Etapa 3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - (\frac{{(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

Etapa 3.15

Mova ${(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

Etapa 4

Reordene os termos.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2$