Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \sqrt{4 x} + e^{- 2 x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \sqrt{4 x} + e^{- 2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x}$ como ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(4 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.2

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(4 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.3

Aplique a regra do produto a $4 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [3 (2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [3 (2^{1} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.7

Avalie o expoente.

$\frac{d}{d x} [3 (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.9

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.12

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.14.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.14.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.16

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.17

Combine $6$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.18

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.19

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.20.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.20.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 2.20.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Etapa 3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Etapa 3.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{- 2 x}$