Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \arctan (e^{5 x})$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \arctan (e^{5 x})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{5 x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{5 x})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = e^{5 x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{5 x}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$3 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{5 x}$ .

$3 (\frac{1}{1 + {(e^{5 x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Etapa 3

Combine frações.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{5 x})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{1 + e^{5 x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Etapa 3.1.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$3 (\frac{1}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{1 + e^{10 x}}$ e $3$ .

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Combine $e^{5 x}$ e $\frac{3}{1 + e^{10 x}}$ .

$\frac{e^{5 x} \cdot 3}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 5.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$\frac{3 \cdot e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 5.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.4

Combine frações.

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Etapa 5.4.1

Combine $5$ e $\frac{3 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}}$ .

$\frac{5 (3 e^{5 x})}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.4.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} \cdot 1$

Etapa 5.6

Multiplique $\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}}$ por $1$ .

$\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}}$