Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x + \frac{4}{x^{3}} + 8 \sqrt{x} + 6$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 2 x + \frac{4}{x^{3}} + 8 \sqrt{x} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$12 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}]$ .

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Etapa 4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.1

Mova $x^{2}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.8

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$ .

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.10

Combine $8$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.12

Fatore $2$ de $8$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.13.2

Cancele o fator comum.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 5.13.3

Reescreva a expressão.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 6

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 7.2

Combine os termos.

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Etapa 7.2.1

Combine $- 12$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$12 x^{3} - 2 + \frac{- 12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 x^{3} - 2 - \frac{12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 7.2.3

Some $12 x^{3} - 2 - \frac{12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$12 x^{3} - 2 - \frac{12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$12 x^{3} - \frac{12}{x^{4}} - 2 + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$