Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} \sqrt{x} + \frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} \sqrt{x} + \frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4} \sqrt{x}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{\frac{1}{2}} x^{4})] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2} + 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.3

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.4

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1 + 4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1 + 8}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.6.2

Some $1$ e $8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{9}{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{9}{2}$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.8.2

Subtraia $2$ de $9$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.9

Combine $\frac{9}{2}$ e $x^{\frac{7}{2}}$ .

$3 \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.10

Combine $3$ e $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (9 x^{\frac{7}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.11

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2 + \frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Etapa 3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{4 + 1}{2}}}]$

Etapa 3.2.5.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Etapa 3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ como ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{5}{2}}$ .

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Etapa 3.6.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Etapa 3.6.3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Etapa 3.6.3.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Etapa 3.6.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Etapa 3.6.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.3.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Etapa 3.6.3.5.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Etapa 3.8

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.8.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Etapa 3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Etapa 3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Etapa 3.8.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Etapa 3.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 3.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 3.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}))$

Etapa 3.12.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 3.13

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 3.14

Combine $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x^{- 5}}{2})$

Etapa 3.15

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 5}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.15.1

Mova $x^{- 5}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 (x^{- 5} x^{\frac{3}{2}})}{2})$

Etapa 3.15.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 3.15.3

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 3.15.4

Combine $- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 3.15.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2})$

Etapa 3.15.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.15.6.1

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2})$

Etapa 3.15.6.2

Some $- 10$ e $3$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 7}{2}}}{2})$

Etapa 3.15.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{- \frac{7}{2}}}{2})$

Etapa 3.16

Mova $x^{- \frac{7}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

Etapa 3.17

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 3 \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 3.18

Combine $3$ e $\frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{3 \cdot 5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 3.19

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$