Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)]$ .

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{9}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{9})$ .

$5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{9})] + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{9}$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.5

Como $\frac{1}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{9}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.8

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (1 \frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.9

Multiplique $\frac{9}{x}$ por $1$ .

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.10

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} \cdot \frac{1}{9}) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.11

Multiplique $\frac{9}{x}$ por $\frac{1}{9}$ .

$5 (x^{4} \frac{9}{x \cdot 9} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.12

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$5 (x^{4} \frac{9}{9 \cdot x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.13

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 2.13.1

Cancele o fator comum.

$5 (x^{4} \frac{9}{9 x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.13.2

Reescreva a expressão.

$5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.14

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.15

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 2.15.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.15.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.15.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.15.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.15.2.3

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.15.2.4

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.15.2.5

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{3} + 5 (\ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$5 x^{3} + 20 (\ln (\frac{x}{9}) (x^{3})) + 4 x^{3}$

Etapa 4.2.2

Some $5 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (\frac{x}{9}) x^{3}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (\frac{x}{9})$