Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x^{3} - 7$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{3} - 7$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{3} - 7$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x (\frac{{(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.3

Mova ${(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7] + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Multiplique $3$ por $2$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 13

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2} + 0) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14

Combine frações.

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Etapa 14.1

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2}) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14.2

Combine $6$ e $\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{6 x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} x^{2} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14.3

Combine $\frac{6 x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{6 x \cdot x^{2}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.1

Mova $x^{2}$ .

$5 (\frac{6 (x^{2} x)}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 15.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 (\frac{6 (x^{2} x^{1})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 (\frac{6 x^{2 + 1}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15.3

Some $2$ e $1$ .

$5 (\frac{6 x^{3}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16

Fatore $2$ de $6 x^{3}$ .

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 17

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 17.1

Fatore $2$ de $2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 ({(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}})} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 17.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 17.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 19

Multiplique ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 20

Para escrever ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Multiplique ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 22.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.3

Some $1$ e $1$ .

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4

Divida $2$ por $2$ .

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{1}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Simplifique ${(2 x^{3} - 7)}^{1}$ .

$5 \frac{3 x^{3} + 2 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24

Some $3 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$5 \frac{5 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 25

Combine $5$ e $\frac{5 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 (5 x^{3} - 7)}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$