Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{2} {(3 x - 4)}^{3}$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2} {(3 x - 4)}^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 4)}^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 4)}^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(3 x - 4)}^{3}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{3}] + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 x - 4$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 4$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 4]) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 4$ .

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} (3 + 0)) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $3$ e $0$ .

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} \cdot 3) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.6.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$5 (x^{2} (9 {(3 x - 4)}^{2}) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (x^{2} (9 {(3 x - 4)}^{2}) + {(3 x - 4)}^{3} (2 x))$

Etapa 4.8

Mova $2$ para a esquerda de ${(3 x - 4)}^{3}$ .

$5 (x^{2} (9 {(3 x - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(3 x - 4)}^{3} x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{2} (9 {(3 x - 4)}^{2})) + 5 (2 {(3 x - 4)}^{3} x)$

Etapa 5.2

Multiplique $9$ por $5$ .

$45 (x^{2} ({(3 x - 4)}^{2})) + 5 (2 {(3 x - 4)}^{3} x)$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$45 x^{2} {(3 x - 4)}^{2} + 10 ({(3 x - 4)}^{3} x)$

Etapa 5.4

Fatore $5 x {(3 x - 4)}^{2}$ de $45 x^{2} {(3 x - 4)}^{2} + 10 {(3 x - 4)}^{3} x$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $5 x {(3 x - 4)}^{2}$ de $45 x^{2} {(3 x - 4)}^{2}$ .

$5 x {(3 x - 4)}^{2} (9 x) + 10 {(3 x - 4)}^{3} x$

Etapa 5.4.2

Fatore $5 x {(3 x - 4)}^{2}$ de $10 {(3 x - 4)}^{3} x$ .

$5 x {(3 x - 4)}^{2} (9 x) + 5 x {(3 x - 4)}^{2} (2 (3 x - 4))$

Etapa 5.4.3

Fatore $5 x {(3 x - 4)}^{2}$ de $5 x {(3 x - 4)}^{2} (9 x) + 5 x {(3 x - 4)}^{2} (2 (3 x - 4))$ .

$5 x {(3 x - 4)}^{2} (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.5

Reescreva ${(3 x - 4)}^{2}$ como $(3 x - 4) (3 x - 4)$ .

$5 x ((3 x - 4) (3 x - 4)) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.6

Expanda $(3 x - 4) (3 x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x (3 x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4)) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x - 4)) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.7.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.7.1.2.1

Mova $x$ .

$5 x (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.7.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.7.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$5 x (9 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.7.1.4

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$5 x (9 x^{2} - 12 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.7.1.5

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$5 x (9 x^{2} - 12 x - 12 x - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.7.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$5 x (9 x^{2} - 12 x - 12 x + 16) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.7.2

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$5 x (9 x^{2} - 24 x + 16) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 x (9 x^{2}) + 5 x (- 24 x) + 5 x \cdot 16) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.9

Simplifique.

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Etapa 5.9.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(5 \cdot 9 x \cdot x^{2} + 5 x (- 24 x) + 5 x \cdot 16) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.9.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(5 \cdot 9 x \cdot x^{2} + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 5 x \cdot 16) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.9.3

Multiplique $16$ por $5$ .

$(5 \cdot 9 x \cdot x^{2} + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.10.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.10.1.1

Mova $x^{2}$ .

$(5 \cdot 9 (x^{2} x) + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.10.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.10.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(5 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.10.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(5 \cdot 9 x^{2 + 1} + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.10.1.3

Some $2$ e $1$ .

$(5 \cdot 9 x^{3} + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.10.2

Multiplique $5$ por $9$ .

$(45 x^{3} + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.10.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.10.3.1

Mova $x$ .

$(45 x^{3} + 5 \cdot - 24 (x \cdot x) + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.10.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(45 x^{3} + 5 \cdot - 24 x^{2} + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.10.4

Multiplique $5$ por $- 24$ .

$(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

Etapa 5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (9 x + 2 (3 x) + 2 \cdot - 4)$

Etapa 5.11.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (9 x + 6 x + 2 \cdot - 4)$

Etapa 5.11.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (9 x + 6 x - 8)$

Etapa 5.12

Some $9 x$ e $6 x$ .

$(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (15 x - 8)$

Etapa 5.13

Expanda $(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (15 x - 8)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$45 x^{3} (15 x) + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.14.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$45 \cdot 15 x^{3} x + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.14.2.1

Mova $x$ .

$45 \cdot 15 (x \cdot x^{3}) + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 5.14.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$45 \cdot 15 (x^{1} x^{3}) + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$45 \cdot 15 x^{1 + 3} + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.2.3

Some $1$ e $3$ .

$45 \cdot 15 x^{4} + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.3

Multiplique $45$ por $15$ .

$675 x^{4} + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.4

Multiplique $- 8$ por $45$ .

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 \cdot 15 x^{2} x - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.14.6.1

Mova $x$ .

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 \cdot 15 (x \cdot x^{2}) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.14.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 \cdot 15 (x^{1} x^{2}) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 \cdot 15 x^{1 + 2} - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.6.3

Some $1$ e $2$ .

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 \cdot 15 x^{3} - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.7

Multiplique $- 120$ por $15$ .

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.8

Multiplique $- 8$ por $- 120$ .

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 80 \cdot 15 x \cdot x + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.10

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.14.10.1

Mova $x$ .

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 80 \cdot 15 (x \cdot x) + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.10.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 80 \cdot 15 x^{2} + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.11

Multiplique $80$ por $15$ .

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 1200 x^{2} + 80 x \cdot - 8$

Etapa 5.14.12

Multiplique $- 8$ por $80$ .

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 1200 x^{2} - 640 x$

Etapa 5.15

Subtraia $1800 x^{3}$ de $- 360 x^{3}$ .

$675 x^{4} - 2160 x^{3} + 960 x^{2} + 1200 x^{2} - 640 x$

Etapa 5.16

Some $960 x^{2}$ e $1200 x^{2}$ .

$675 x^{4} - 2160 x^{3} + 2160 x^{2} - 640 x$