Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{3 e^{x}}$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3 e^{x}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{3 e^{x}}$ como $e^{\ln (x^{3 e^{x}})}$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 e^{x}})}]$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (x^{3 e^{x}})$ movendo $3 e^{x}$ para fora do logaritmo.

$5 \frac{d}{d x} [e^{3 e^{x} \ln (x)}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 e^{x} \ln (x)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 e^{x} \ln (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 e^{x} \ln (x)$ .

$5 (e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{x} \ln (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ .

$5 e^{3 e^{x} \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 6

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 7

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 9.2

Combine os termos.

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Etapa 9.2.1

Combine $\frac{e^{x}}{x}$ e $15$ .

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x} e^{3 e^{x} \ln (x)} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 9.2.2

Combine $\frac{e^{x} \cdot 15}{x}$ e $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 15 e^{3 e^{x} \ln (x)}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 9.2.3

Multiplique $e^{x}$ por $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.2.3.1

Mova $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 9.2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 9.2.3.3

Multiplique $3 e^{x} \ln (x)$ .

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Etapa 9.2.3.3.1

Reordene $\ln (x)$ e $3$ .

$\frac{e^{3 \cdot \ln (x) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 9.2.3.3.2

Simplifique $3 \cdot \ln (x)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{e^{\ln (x^{3}) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 9.2.3.4

Reordene os fatores em $\ln (x^{3}) e^{x} + x$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 9.2.4

Mova $15$ para a esquerda de $e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}$ .

$\frac{15 \cdot e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 9.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Etapa 9.2.6

Para escrever $15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + \frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Etapa 9.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Etapa 9.3

Reordene os termos.

$\frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x}$