Cálculo Exemplos

$f (x) = 500 (1 + (\frac{4 x}{50 + x^{2}}))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [500 (\frac{50 + x^{2}}{50 + x^{2}} + \frac{4 x}{50 + x^{2}})]$

Etapa 1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [500 \frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

Etapa 1.2.2

Combine $500$ e $\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}]$

Etapa 1.3

Como $500$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}$ em relação a $x$ é $500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$ .

$500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 50 + x^{2} + 4 x$ e $g (x) = 50 + x^{2}$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) \frac{d}{d x} [50 + x^{2} + 4 x] - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $50 + x^{2} + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $50$ em relação a $x$ é $0$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \cdot 1) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $50 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.9

Como $50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $50$ em relação a $x$ é $0$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (2 x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.12

Combine frações.

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Etapa 3.12.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.12.2

Combine $500$ e $\frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) + (- 2 \cdot 50 - 2 x^{2} - 2 (4 x)) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 \cdot 50 x - 2 x^{2} x - 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.1

Expanda $(50 + x^{2}) (2 x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{500 (50 (2 x + 4) + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.2.1

Multiplique $2$ por $50$ .

$\frac{500 (100 x + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2.2

Multiplique $50$ por $4$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 4.4.1.2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2.5

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + 4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{500 (100 x) + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1.4.1

Multiplique $100$ por $500$ .

$\frac{50000 x + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.2

Multiplique $500$ por $200$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.3

Multiplique $2$ por $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.4

Multiplique $4$ por $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.5

Multiplique $- 2$ por $50$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 100 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6

Multiplique $- 100$ por $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1.7.1

Mova $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x \cdot x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 4.4.1.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{1 + 2}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.7.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{3}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.8

Multiplique $- 2$ por $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.9

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1.9.1

Mova $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 (x \cdot x)))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.9.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x^{2}))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.10

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 8 x^{2})}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.1.11

Multiplique $- 8$ por $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Combine os termos opostos em $50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Subtraia $50000 x$ de $50000 x$ .

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 0 - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.2.2

Some $100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.2.3

Subtraia $1000 x^{3}$ de $1000 x^{3}$ .

$\frac{100000 + 2000 x^{2} + 0 - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.2.4

Some $100000 + 2000 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{100000 + 2000 x^{2} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Subtraia $4000 x^{2}$ de $2000 x^{2}$ .

$\frac{100000 - 2000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.5

Reordene os termos.

$\frac{- 2000 x^{2} + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Etapa 4.6

Fatore $2000$ de $- 2000 x^{2} + 100000$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $2000$ de $- 2000 x^{2}$ .

$\frac{2000 (- x^{2}) + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Fatore $2000$ de $100000$ .

$\frac{2000 (- x^{2}) + 2000 (50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Etapa 4.6.3

Fatore $2000$ de $2000 (- x^{2}) + 2000 (50)$ .

$\frac{2000 (- x^{2} + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Etapa 4.7

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2000 (- (x^{2}) + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Etapa 4.8

Reescreva $50$ como $- 1 (- 50)$ .

$\frac{2000 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Etapa 4.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{2000 (- (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Etapa 4.10

Reescreva $- (x^{2} - 50)$ como $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{2000 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Etapa 4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2000 (x^{2} - 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$