Cálculo Exemplos

$f (x) = - 6 \csc (\sqrt{5 x + 3})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x + 3}$ como ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.2

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 6 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 (- \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$6 (\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 x + 3$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x + 3$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x + 3$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 11

Mova ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $6$ .

$\frac{6}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Etapa 13

Combine $\frac{6}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Etapa 14

Combine $\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Etapa 15

Fatore $2$ de $6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Etapa 16

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.1

Fatore $2$ de $2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Etapa 16.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Etapa 17

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 18

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 20

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 21

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Etapa 22

Combine frações.

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Etapa 22.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Etapa 22.2

Combine $\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $5$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 5}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 22.3.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.3.2

Reordene os termos.

$\frac{15 \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$