Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 x^{2} \cos (x) + 3 \sqrt[3]{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{2} \cos (x) + 3 \sqrt[3]{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2} \cos (x)]$ .

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Etapa 2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2} \cos (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 3.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 3.10

Combine $3$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 3.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.12

Cancele o fator comum.

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.13

Reescreva a expressão.

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (x^{2} (- \sin (x))) + 8 (\cos (x) (2 x)) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 (x^{2} (\sin (x))) + 8 (\cos (x) (2 x)) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$- 8 x^{2} \sin (x) + 16 \cos (x) x + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$- 8 x^{2} \sin (x) + 16 x \cos (x) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$