Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 \ln (3 + 2 x^{2})$

Etapa 1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 \ln (3 + 2 x^{2})$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\ln (3 + 2 x^{2})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\ln (3 + 2 x^{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 + 2 x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 + 2 x^{2}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 + 2 x^{2}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$7 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 + 2 x^{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + 2 x^{2}$ .

$7 (\frac{1}{3 + 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{3 + 2 x^{2}}$ e $7$ .

$\frac{7}{3 + 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x^{2}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{7}{3 + 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}])$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{7}{3 + 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}])$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{7}{3 + 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Etapa 3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{7}{3 + 2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Combine $2$ e $\frac{7}{3 + 2 x^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3 + 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{14}{3 + 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{14}{3 + 2 x^{2}} (2 x)$

Etapa 3.8

Combine frações.

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Etapa 3.8.1

Combine $2$ e $\frac{14}{3 + 2 x^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 14}{3 + 2 x^{2}} x$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $14$ .

$\frac{28}{3 + 2 x^{2}} x$

Etapa 3.8.3

Combine $\frac{28}{3 + 2 x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{28 x}{3 + 2 x^{2}}$

Etapa 3.8.4

Reordene os termos.

$\frac{28 x}{2 x^{2} + 3}$