Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 x^{5} \sqrt{x} - \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{5} \sqrt{x} - \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{5} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{5} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{5} \sqrt{x}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{5} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2

Multiplique $x^{5}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{2}} x^{5})] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.3

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.4

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 5 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 10}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.6.2

Some $1$ e $10$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{11}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{\frac{11}{2}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{11}{2}$ .

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{11}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{11}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{11 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{11 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.8.2

Subtraia $2$ de $11$ .

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{9}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.9

Combine $\frac{11}{2}$ e $x^{\frac{9}{2}}$ .

$7 \frac{11 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.10

Combine $7$ e $\frac{11 x^{\frac{9}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 (11 x^{\frac{9}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 2.11

Multiplique $11$ por $7$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3 + \frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Etapa 3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{6 + 1}{2}}}]$

Etapa 3.2.5.2

Some $6$ e $1$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{7}{2}}}]$

Etapa 3.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{x^{\frac{7}{2}}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}]$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ como ${(x^{\frac{7}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{7}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{7}{2}}$ .

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Etapa 3.5.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{3 + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Etapa 3.5.3.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Etapa 3.5.3.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Etapa 3.5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Etapa 3.5.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.3.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{6 + 1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Etapa 3.5.3.5.2

Some $6$ e $1$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{7}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{7}{2}})}^{- 2} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Etapa 3.7

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{7}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{7}{2} \cdot - 2} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{7}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Etapa 3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Etapa 3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{7 \cdot - 1} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Etapa 3.7.3

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Etapa 3.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 3.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 3.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}))$

Etapa 3.11.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}))$

Etapa 3.12

Combine $\frac{7}{2}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2})$

Etapa 3.13

Combine $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ e $x^{- 7}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{\frac{5}{2}} x^{- 7}}{2})$

Etapa 3.14

Multiplique $x^{\frac{5}{2}}$ por $x^{- 7}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.14.1

Mova $x^{- 7}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 (x^{- 7} x^{\frac{5}{2}})}{2})$

Etapa 3.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{- 7 + \frac{5}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.3

Para escrever $- 7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{- 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.4

Combine $- 7$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{\frac{- 7 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{\frac{- 7 \cdot 2 + 5}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.14.6.1

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{\frac{- 14 + 5}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.6.2

Some $- 14$ e $5$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{\frac{- 9}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{- \frac{9}{2}}}{2})$

Etapa 3.15

Mova $x^{- \frac{9}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7}{2 x^{\frac{9}{2}}})$

Etapa 3.16

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + 3 \frac{7}{2 x^{\frac{9}{2}}}$

Etapa 3.17

Combine $3$ e $\frac{7}{2 x^{\frac{9}{2}}}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{3 \cdot 7}{2 x^{\frac{9}{2}}}$

Etapa 3.18

Multiplique $3$ por $7$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{21}{2 x^{\frac{9}{2}}}$