Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 {(8 x + 1)}^{5} {(8 x - 1)}^{2}$

Etapa 1

Reescreva ${(8 x - 1)}^{2}$ como $(8 x - 1) (8 x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} ((8 x - 1) (8 x - 1))]$

Etapa 2

Expanda $(8 x - 1) (8 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x - 1) - 1 (8 x - 1))]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x - 1))]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 3.1.3

Multiplique $8$ por $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 3.1.5

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 8 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 8 x + 1)]$

Etapa 3.2

Subtraia $8 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$

Etapa 4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(8 x + 1)}^{5}$ e $g (x) = 64 x^{2} - 16 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [64 x^{2} - 16 x + 1] + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $64 x^{2} - 16 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Etapa 6.2

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 x^{2}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Etapa 6.4

Multiplique $2$ por $64$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Etapa 6.5

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Etapa 6.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Etapa 6.7

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Etapa 6.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 + 0) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Etapa 6.9

Some $128 x - 16$ e $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 8 x + 1$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (5 {(8 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Mova $5$ para a esquerda de $64 x^{2} - 16 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 \cdot (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1])$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 8.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 8.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 8.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 + 0))$

Etapa 8.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.7.1

Some $8$ e $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} \cdot 8)$

Etapa 8.7.2

Multiplique $8$ por $5$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 40 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (40 (64 x^{2}) + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16)) + 7 ((40 (64 x^{2}) + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Etapa 9.3

Multiplique $64$ por $40$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Etapa 9.4

Multiplique $- 16$ por $40$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} - 640 x + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Etapa 9.5

Multiplique $40$ por $1$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4})$

Etapa 9.6

Fatore $7 {(8 x + 1)}^{4}$ de $7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$ .

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Etapa 9.6.1

Fatore $7 {(8 x + 1)}^{4}$ de $7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16)$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$

Etapa 9.6.2

Fatore $7 {(8 x + 1)}^{4}$ de $7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 {(8 x + 1)}^{4} (2560 x^{2} - 640 x + 40)$

Etapa 9.6.3

Fatore $7 {(8 x + 1)}^{4}$ de $7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 {(8 x + 1)}^{4} (2560 x^{2} - 640 x + 40)$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16) + 2560 x^{2} - 640 x + 40)$