Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 \cos (x) \cos (4 x) + \cos^{4} (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \cos (x) \cos (4 x) + \cos^{4} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \cos (4 x)]$ .

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cos (x) \cos (4 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (4 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \cos (4 x)$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$4 (\cos (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 2.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 2.6

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 2.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (4 x) \cdot 4) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 2.8

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (x)$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + 4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x))) + 4 (\cos (4 x) (- \sin (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$- 16 (\cos (x) (\sin (4 x))) + 4 (\cos (4 x) (- \sin (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 16 \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$