Cálculo Exemplos

$f (x) = 49 x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 1

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49 x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$ em relação a $x$ é $49 \frac{d}{d x} [x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}]$ .

$49 \frac{d}{d x} [x {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$ .

$49 (x \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}] + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ e $g (x) = 7 x^{2} + 10$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x^{2} + 10$ .

$49 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$49 (x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x^{2} + 10$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$49 (x (\frac{5}{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{5}{2}$ e ${(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}}$ .

$49 (x (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $x$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 10] + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $7$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (14 x + \frac{d}{d x} [10]) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 13

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (14 x + 0) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14

Combine frações.

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Etapa 14.1

Some $14 x$ e $0$ .

$49 (\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2} (14 x) + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14.2

Combine $14$ e $\frac{5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ .

$49 (\frac{14 (5 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} x + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14.3

Multiplique $5$ por $14$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} x + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14.4

Combine $\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ e $x$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} (x^{1} x))}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} (x^{1} x^{1}))}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 18

Some $1$ e $1$ .

$49 (\frac{70 ({(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 19

Fatore $2$ de $70 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

$49 (\frac{2 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 20.1

Fatore $2$ de $2$ .

$49 (\frac{2 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 20.2

Cancele o fator comum.

$49 (\frac{2 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 20.3

Reescreva a expressão.

$49 (\frac{35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 20.4

Divida $35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ por $1$ .

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 21

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1)$

Etapa 22

Multiplique ${(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$49 (35 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 49 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 23.2

Multiplique $35$ por $49$ .

$1715 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + 49 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 23.3

Reordene os termos.

$1715 x^{2} {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{3}{2}} + 49 {(7 x^{2} + 10)}^{\frac{5}{2}}$