Cálculo Exemplos

$f (x) = - 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

$- 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 (\sin (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 4 (\sin (x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.7

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.8

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.10

Some $1$ e $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.11

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.1

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 2.11.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 2.11.2

Some $3$ e $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin^{3} (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Etapa 3.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Etapa 3.6

Multiplique $\sin^{3} (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.1

Mova $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Etapa 3.6.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{3} (x)$ .

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Etapa 3.6.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Etapa 3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 ({\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Etapa 3.6.3

Some $1$ e $3$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Etapa 3.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sin^{4} (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Etapa 3.8

Reescreva $- 1 \sin^{4} (x)$ como $- \sin^{4} (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Etapa 3.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

Etapa 3.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

Etapa 3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) {\cos (x)}^{1 + 1})$

Etapa 3.12

Some $1$ e $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$12 (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Etapa 4.3.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 (\sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Etapa 4.3.4

Reordene os fatores de $- 12 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Etapa 4.3.5

Subtraia $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ de $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$0 - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Etapa 4.3.6

Subtraia $4 \cos^{4} (x)$ de $0$ .

$- 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Etapa 4.4

Reescreva $4 \sin^{4} (x)$ como ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

$- 4 \cos^{4} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Etapa 4.5

Reescreva $4 \cos^{4} (x)$ como ${(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ .

$- {(2 \cos^{2} (x))}^{2} + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Etapa 4.6

Reordene $- {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ e ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(2 \sin^{2} (x))}^{2} - {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$

Etapa 4.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 \sin^{2} (x)$ e $b = 2 \cos^{2} (x)$ .

$(2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Etapa 4.8

Fatore $2$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Etapa 4.9

Fatore $2$ de $2 \cos^{2} (x)$ .

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Etapa 4.10

Fatore $2$ de $2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))$ .

$2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Etapa 4.11

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$2 \cdot 1 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Etapa 4.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Etapa 4.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 (2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x))$

Etapa 4.14

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 \sin^{2} (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

Etapa 4.15

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \sin^{2} (x) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

Etapa 4.16

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)$