Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Etapa 1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Etapa 3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (\frac{x}{2} + 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$ .

$0 - 2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2} + 1$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 3.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + 0))$

Etapa 3.8

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} + 0))$

Etapa 3.9

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 3.10

Multiplique $\frac{1}{\frac{x}{2} + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{(\frac{x}{2} + 1) \cdot 2}$

Etapa 3.11

Mova $2$ para a esquerda de $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{2 (\frac{x}{2} + 1)}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 - 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.2

Combine $2$ e $\frac{x}{2}$ .

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2}$

Etapa 4.2.5

Para escrever $- 2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- 2 x \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Etapa 4.2.6

Combine $- 2 x$ e $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{- 2 x (x + 2)}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Etapa 4.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 x (x + 2) - 1}{x + 2}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.2.1

Mova $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 1}{x + 2}$

Etapa 4.4

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 4 x - 1}{x + 2}$

Etapa 4.5

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (4 x) - 1}{x + 2}$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2}) - (4 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1}{x + 2}$

Etapa 4.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)}{x + 2}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Etapa 4.9

Reescreva $- (2 x^{2} + 4 x + 1)$ como $- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Etapa 4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{x + 2}$