Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} e^{\ln ({(6 x^{3} - 5)}^{2})}$

Etapa 1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}]$

Etapa 2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(6 x^{3} - 5)}^{2}$ .

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [{(6 x^{3} - 5)}^{2}] + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 6 x^{3} - 5$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x^{3} - 5$ .

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 5]) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 5]) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x^{3} - 5$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 5]) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{3} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{3}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5.4

Multiplique $3$ por $6$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (18 x^{2} + 0)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.1

Some $18 x^{2}$ e $0$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (18 x^{2})) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 5.6.2

Multiplique $18$ por $2$ .

$4 (x^{3} (36 (6 x^{3} - 5) x^{2}) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 6

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x^{3} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (x^{2 + 3} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 6.3

Some $2$ e $3$ .

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} (3 x^{2}))$

Etapa 8

Mova $3$ para a esquerda de ${(6 x^{3} - 5)}^{2}$ .

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3} - 5)) + 3 \cdot {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3}) + 36 \cdot - 5) + 3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3})) + x^{5} (36 \cdot - 5) + 3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3}))) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.4

Combine os termos.

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Etapa 9.4.1

Multiplique $6$ por $36$ .

$4 (x^{5} (216 x^{3})) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.4.2

Multiplique $x^{5}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.4.2.1

Mova $x^{3}$ .

$4 (x^{3} x^{5} \cdot 216) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (x^{3 + 5} \cdot 216) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.4.2.3

Some $3$ e $5$ .

$4 (x^{8} \cdot 216) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.4.3

Mova $216$ para a esquerda de $x^{8}$ .

$4 (216 \cdot x^{8}) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.4.4

Multiplique $216$ por $4$ .

$864 x^{8} + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.4.5

Multiplique $36$ por $- 5$ .

$864 x^{8} + 4 (x^{5} \cdot - 180) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.4.6

Mova $- 180$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$864 x^{8} + 4 (- 180 \cdot x^{5}) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.4.7

Multiplique $- 180$ por $4$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Etapa 9.4.8

Multiplique $3$ por $4$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2}$

Etapa 9.5

Reordene os termos.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} {(6 x^{3} - 5)}^{2}$

Etapa 9.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.6.1

Reescreva ${(6 x^{3} - 5)}^{2}$ como $(6 x^{3} - 5) (6 x^{3} - 5)$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} ((6 x^{3} - 5) (6 x^{3} - 5))$

Etapa 9.6.2

Expanda $(6 x^{3} - 5) (6 x^{3} - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 x^{3} (6 x^{3} - 5) - 5 (6 x^{3} - 5))$

Etapa 9.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 x^{3} (6 x^{3}) + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3} - 5))$

Etapa 9.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 x^{3} (6 x^{3}) + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Etapa 9.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 9.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.6.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 x^{3} x^{3} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Etapa 9.6.3.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.6.3.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 (x^{3} x^{3}) + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Etapa 9.6.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 x^{3 + 3} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Etapa 9.6.3.1.2.3

Some $3$ e $3$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 x^{6} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Etapa 9.6.3.1.3

Multiplique $6$ por $6$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Etapa 9.6.3.1.4

Multiplique $- 5$ por $6$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 30 x^{3} - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Etapa 9.6.3.1.5

Multiplique $6$ por $- 5$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 30 x^{3} - 30 x^{3} - 5 \cdot - 5)$

Etapa 9.6.3.1.6

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 30 x^{3} - 30 x^{3} + 25)$

Etapa 9.6.3.2

Subtraia $30 x^{3}$ de $- 30 x^{3}$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 60 x^{3} + 25)$

Etapa 9.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6}) + 12 x^{2} (- 60 x^{3}) + 12 x^{2} \cdot 25$

Etapa 9.6.5

Simplifique.

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Etapa 9.6.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{2} x^{6} + 12 x^{2} (- 60 x^{3}) + 12 x^{2} \cdot 25$

Etapa 9.6.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{2} x^{6} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} \cdot 25$

Etapa 9.6.5.3

Multiplique $25$ por $12$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{2} x^{6} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

Etapa 9.6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.6.6.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.6.6.1.1

Mova $x^{6}$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 (x^{6} x^{2}) + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

Etapa 9.6.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{6 + 2} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

Etapa 9.6.6.1.3

Some $6$ e $2$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

Etapa 9.6.6.2

Multiplique $12$ por $36$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

Etapa 9.6.6.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.6.6.3.1

Mova $x^{3}$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 (x^{3} x^{2}) + 300 x^{2}$

Etapa 9.6.6.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{3 + 2} + 300 x^{2}$

Etapa 9.6.6.3.3

Some $3$ e $2$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{5} + 300 x^{2}$

Etapa 9.6.6.4

Multiplique $12$ por $- 60$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} - 720 x^{5} + 300 x^{2}$

Etapa 9.7

Some $864 x^{8}$ e $432 x^{8}$ .

$1296 x^{8} - 720 x^{5} - 720 x^{5} + 300 x^{2}$

Etapa 9.8

Subtraia $720 x^{5}$ de $- 720 x^{5}$ .

$1296 x^{8} - 1440 x^{5} + 300 x^{2}$