Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - \frac{12}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{5} + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - \frac{12}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{5} + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{3}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{12}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$12 x^{2} - 12 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$12 x^{2} - 12 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$12 x^{2} - 12 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 x^{2} - 12 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x^{2} - 12 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$12 x^{2} - 12 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$12 x^{2} - 12 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$12 x^{2} - 12 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x^{2} - 12 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$12 x^{2} - 12 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 3.8

Multiplique $- 3$ por $- 12$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5}]$ .

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Etapa 4.1

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{1}{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 4.3

Combine $2$ e $\frac{1}{5}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2}{5} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 4.4

Combine $\frac{2}{5}$ e $x$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.3

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 5.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.13

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.14

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.14.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.14.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.14.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.14.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.14.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.14.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.14.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.15

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.16

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.17

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.18

Fatore $2$ de $- 2$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.19.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.19.2

Cancele o fator comum.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.19.3

Reescreva a expressão.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 5.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 6

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$ .

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{4 \sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}]$

Etapa 6.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.4

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ como ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 6.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.8

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 6.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.8.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.8.2.2

Cancele o fator comum.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.8.2.3

Reescreva a expressão.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.8.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.12.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.13

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.14

Combine $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.15

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{- 3}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.15.1

Mova $x^{- 3}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - - \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.15.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - - \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.15.3

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - - \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.15.4

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - - \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.15.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - - \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.15.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.15.6.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - - \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.15.6.2

Some $- 6$ e $1$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - - \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.15.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - - \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.16

Mova $x^{- \frac{5}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - - \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.17

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 1 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.18

Multiplique $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ por $1$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Etapa 6.19

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $0$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 0$

Etapa 6.20

Some $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ e $0$ .

$12 x^{2} + 36 x^{- 4} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{2} + 36 \frac{1}{x^{4}} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 7.2

Combine $36$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$12 x^{2} + \frac{36}{x^{4}} + \frac{2 x}{5} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$12 x^{2} + \frac{2 x}{5} + \frac{36}{x^{4}} + \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$