Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 {(\ln (x) + 3)}^{4} + {(\ln (x) + 3)}^{3} + 2$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 {(\ln (x) + 3)}^{4} + {(\ln (x) + 3)}^{3} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}]$ .

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 {(\ln (x) + 3)}^{4}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x) + 3$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (x) + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (x) + 3$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x) + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{1}{x} + 0)) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.6

Some $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.7

Combine $\frac{1}{x}$ e $4$ .

$4 (\frac{4}{x} {(\ln (x) + 3)}^{3}) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.8

Combine $\frac{4}{x}$ e ${(\ln (x) + 3)}^{3}$ .

$4 \frac{4 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.9

Combine $4$ e $\frac{4 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x}$ .

$\frac{4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3})}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.10

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (x) + 3$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\ln (x) + 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (x) + 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x) + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{1}{x} + 0) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.5

Some $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{x}$ e $3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3}{x} {(\ln (x) + 3)}^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.7

Combine $\frac{3}{x}$ e ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + 0$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine os termos.

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Etapa 5.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + 0$

Etapa 5.1.2

Some $\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$ e $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1

Fatore ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ de $16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ de $16 {(\ln (x) + 3)}^{3}$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$

Etapa 5.2.1.2

Fatore ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ de $3 {(\ln (x) + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + {(\ln (x) + 3)}^{2} \cdot 3}{x}$

Etapa 5.2.1.3

Fatore ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ de ${(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + {(\ln (x) + 3)}^{2} \cdot 3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3) + 3)}{x}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 16 \cdot 3 + 3)}{x}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $16$ por $3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 48 + 3)}{x}$

Etapa 5.2.4

Some $48$ e $3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 51)}{x}$