Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x (1 - e^{x})$ e $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x (1 - e^{x})] - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 - e^{x}$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x \frac{d}{d x} [1 - e^{x}] + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x \frac{d}{d x} [- e^{x}] + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- \frac{d}{d x} [e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + (1 - e^{x}) \cdot 1) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.2

Multiplique $1 - e^{x}$ por $1$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 8

Combine $3$ e $\frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) + (- x \cdot 1 - x (- e^{x})) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x \cdot 1 e^{x} - x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (- x e^{x} + 1 - e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.2

Expanda $(1 + e^{x}) (- x e^{x} + 1 - e^{x})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{3 (1 (- x e^{x}) + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.4.1.3.1

Multiplique $- x e^{x}$ por $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.3

Multiplique $- e^{x}$ por $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.5

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.4.1.3.5.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.5.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.6

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{x} e^{x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.8

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.4.1.3.8.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - (e^{x} e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{x + x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.3.8.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.4

Combine os termos opostos em $- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{2 x}$ .

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Etapa 9.4.1.4.1

Some $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x + 0 - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.4.2

Some $- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x$ e $0$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- x e^{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.6

Simplifique.

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Etapa 9.4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.6.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.6.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 - 3 (e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.6.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 - 3 (e^{2 x} x) - 3 e^{2 x} + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.7

Remova os parênteses.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} + 3 (- x e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.9

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 (x e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.10

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.4.1.10.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- (e^{x} e^{x})))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.10.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- e^{x + x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.10.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- 1 \cdot - 1 x e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (1 x e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.1.13

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 x e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.2

Combine os termos opostos em $- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 x e^{2 x}$ .

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Etapa 9.4.2.1

Reorganize os fatores nos termos $- 3 e^{2 x} x$ e $3 x e^{2 x}$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 e^{2 x} x}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.2.2

Some $- 3 e^{2 x} x$ e $3 e^{2 x} x$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 + 0 - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.2.3

Some $- 3 x e^{x} + 3$ e $0$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.4.3

Subtraia $3 x e^{x}$ de $- 3 x e^{x}$ .

$\frac{- 6 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.5

Reordene os termos.

$\frac{- 6 e^{x} x + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.6

Fatore $3$ de $- 6 e^{x} x + 3 - 3 e^{2 x}$ .

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Etapa 9.6.1

Fatore $3$ de $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.6.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1) - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.6.3

Fatore $3$ de $- 3 e^{2 x}$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1) + 3 (- e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.6.4

Fatore $3$ de $3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x + 1) + 3 (- e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.6.5

Fatore $3$ de $3 (- 2 e^{x} x + 1) + 3 (- e^{2 x})$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x + 1 - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.7

Fatore $- 1$ de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x) + 1 - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.8

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x) - 1 (- 1) - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.9

Fatore $- 1$ de $- (2 e^{x} x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1) - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.10

Fatore $- 1$ de $- e^{2 x}$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1) - (e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.11

Fatore $- 1$ de $- (2 e^{x} x - 1) - (e^{2 x})$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.12

Reescreva $- (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})$ como $- 1 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})$ .

$\frac{3 (- 1 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 9.14

Reordene os fatores em $- \frac{3 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{3 (2 x e^{x} - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$